Удельная проводимость и удельное сопротивление проводников.

Связь плотности тока J и напряженности электрического поля в проводнике дается дифференциальной формой закона Ома

где γ – удельная проводимость, которая в соответствии с законом Ома у металлических проводников не зависит от напряженности электрического поля Е при изменении последней в весьма широких пределах. Величина ρ = 1/γ, обратная удельной проводимости называется удельным сопротивлением, для проводника с сопротивление R длиной l с постоянным поперечным сечением S и вычисляется по формуле

Удельное сопротивление измеряется в Ом·м. Для измерения ρ проводниковых материалов разрешается пользоваться внесистемной единицей Ом·мм²/м.

Диапазон значений удельного сопротивления ρ металлических проводников (при нормальной температуре) довольно узок: от 0,016 для серебра и примерно до 10 мкОм·м для железохромоалюминиевых сплавов, т.е. он занимает всего три порядка. Удельная проводимость металлических проводников согласно классической теории металлов может быть выражена следующим образом

где е – заряд электрона; n₀ – число свободных электронов в единице объема металла; λ – средняя длина свободного пробега электрона между двумя соударениями с узлами решетки; m – масса электрона; v_т – средняя скорость теплового движения свободного электрона в металле.

Преобразование данного выражения на основе положений квантовой механики приводит к формуле

где K – численный коэффициент.

Для различных металлов скорости хаотического теплового движения электронов v_т примерно одинаковы. Незначительно различаются также и концентрации свободных электронов n₀ (для меди и никеля это различие меньше 10%). Поэтому значение удельной проводимости γ (удельного сопротивления ρ) в основном зависит от средней длины свободного пробега электронов в данном проводнике λ,которая определяется структурой проводникового материала. Все чистые металлы с наиболее правильной кристаллической решеткой характеризуются наименьшими значениями удельного сопротивления; примеси, искажая решетку, приводят к увеличению ρ. К такому же выводу можно прийти, исходя из волновой природы электронов. Рассеяние электронных волн происходит на дефектах кристаллической решетки, которые соизмеримы с расстоянием около четверти длины электронной волны. Нарушения меньших размеров не вызывают заметного рассеяния волн. В металлическом проводнике, где длина волны электрона около 0,5 нм, микродефекты создают значительное рассеяние, уменьшающее подвижность электронов, и, следовательно, приводит к росту ρ материала.

Температурный коэффициент удельного сопротивления металлов.

Число носителей заряда в металлическом проводнике при повышении температуры практически остается неизменным. Однако вследствие усиления колебаний узлов кристаллической решетки с ростом температуры появляется все больше препятствий на пути направленного движения свободных электронов под действием электрического поля, т. е. уменьшается средняя длина свободного пробега электрона λ, уменьшается подвижность электронов и, как следствие, уменьшается удельная проводимость металлов и возрастает удельное сопротивление (рисунок 2.1)

Рисунок 2.1 – Зависимость удельного сопротивления ρ меди от температуры

Иными словами, температурный коэффициент удельного сопротивления металлов положителен

Согласно выводам электронной теории металлов значения α_ρ, чистых металлов в твердом состоянии должны быть близки к температурному коэффициенту расширения идеальных газов, т.е. 1/273 = 0,0037 К^-1. При изменении температуры в узких диапазонах на практике допустима кусочно-линейная аппроксимация зависимости ρ(Т). В этом случае принимают, что

где ρ₁ и ρ₂ – удельные сопротивления проводникового материала при температурах Т₁, и T₂, соответственно (при этом T₂ > Т₁); α_ρ – средний температурный коэффициент удельного сопротивления данного материала в диапазоне температур от Т₁ до Т₂.

Изменение удельного сопротивления металлов при плавлении.

При переходе из твердого состояния в жидкое у большинства металлов наблюдается увеличение удельного сопротивления ρ, как это видно для меди (рисунка 2.1). Однако у некоторых металлов ρ при плавлении уменьшается. Удельное сопротивление увеличивается при плавлении у тех металлов, у которых при плавлении увеличивается объем, и, наоборот, у металлов, уменьшающих свой объем при плавлении, – галлия, висмута, сурьмы ρ уменьшается.

Удельное сопротивление сплавов.

Как уже указывалось, примеси и нарушения правильной структуры металлов увеличивают их удельное сопротивление. Значительное возрастание ρ наблюдается при сплавлении двух металлов в том случае, если они образуют друг с другом твердый раствор, т. е. при утверждении совместно кристаллизуются, и атомы одного металла входят в кристаллическую решетку другого.

Теплопроводность металлов.

За передачу теплоты через металл ответственны свободные электроны, которые определяют электропроводность металлов и число которых в единице объема металла весьма велико. Поэтому коэффициент теплопроводности γ_т металлов намного больше, чем коэффициент теплопроводности диэлектриков. Очевидно, что при прочих равных условиях, чем больше удельная электрическая проводимость у металла, тем больше должен быть и его коэффициент теплопроводности. Легко также видеть, что при повышении температуры, когда подвижность электронов в металле и соответственно его удельная проводимость γ уменьшаются, отношение коэффициента теплопроводности металла к его удельной проводимости γ_т/γ должно возрастать. Математически это выражается законом Видемана–Франца–Лоренца

где Т – термодинамическая температура, К; L₀ – число Лоренца, равное

Подставляя в формулу значения постоянной Больцмана k = 1,38·10^-23 Дж/К и заряда электрона е = 1,6·10^-19 Кл, получаем L₀ = 2,45·10^-8 B²K².

Термоэлектродвижущая сила.

При соприкосновении двух различных металлических проводников между ними возникает контактная разность потенциалов. Причина появления этой разности потенциалов заключается в различии значений работы выхода электронов из различных металлов, а также в том, что концентрация электронов, а, следовательно, и давление электронного газа у разных металлов и сплавов могут быть неодинаковыми. Из электронной теории металлов следует, что контактная разность потенциалов между металлами А и В равна

где U_A и U_B – потенциалы соприкасающихся металлов; n_0A и n_0B – концентрации электронов в металлах А и В; k – постоянная Больцмана; e – абсолютная величина заряда электрона.

Если температуры «спаев» одинаковы, то сумма разности потенциалов в замкнутой цепи равна нулю. Иначе обстоит дело, когда один из спаев имеет температуру T₁ , а другой – температуру Т₂ (рисунок 2.2).

Рисунок 2.2 – Схема термопары

В этом случае между спаями возникает термо-ЭДС, равная

что можно записать в виде

где ψ – постоянный для данной пары проводников коэффициент термо-ЭДС, т. е. термо-ЭДС должна быть пропорциональна разности температур спаев.

Температурный коэффициент линейного расширения проводников.

Этот коэффициент, интересен не только при рассмотрении работы различных сопряженных материалов в той или иной конструкции (возможность растрескивания или нарушения вакуум-плотного соединения со стеклами, керамикой при изменении температуры). Он необходим также и для расчета температурного коэффициента электрического сопротивления провода